El hotel infinito de Hilbert

El Hotel Hilbert tiene un número infinito de habitaciones. El único requisito para ser huésped de este hotel es estar dispuesto a que te cambien de habitación varias veces a lo largo de la noche.
Si llega un huésped nuevo y todas las habitaciones están ocupadas, el recepcionista le pedirá a todos los huéspedes que se cambien a la habitación siguiente a la que ocupan. Esto es, de la habitación 1 a la 2, de la habitación 2 a la 3, de la habitación 1325 a la 1326, y así. Así la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. En términos matemáticos, cada huésped se iría a la habitación n+1, siendo n el número de su cuarto.

¿Qué pasa si llegan infinitos huéspedes nuevos al mismo tiempo? Al recepcionista se le ocurre trasladar a todos los huéspedes a la habitación cuyo número sea el doble de la suya propia, esto es, de la habitación 1 a la 2, de la 2 a la 4, de la 3 a la 6 (en términos matemáticos 2n). Así se asegura de que le quedan libres todas las habitaciones impares. De nuevo tiene infinitas habitaciones disponibles a pesar de que el hotel ya estaba lleno.



Infinitos infinitos

Un día llegan infinitos autobuses con infinitos turistas. El recepcionista hace lo siguiente. Se comunica con las habitaciones cuyo número es primo (p distinto de 1) o alguna potencia de estos(p^n). Les pide que eleven el número 2 al número de la habitación en la que se encuentren (2^{p^n})  y se cambien a esa habitación.
Asigna a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), a cada uno de los turistas de cada una de los autobuses un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calcula tomando el número primo de su excursión (p) y elevándolo al número que les toca dentro de su excursión (t) lo que da p^t.
Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logra hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.